એક રેખા વર્તુળ (x-3)^{2}+y^{2}=9 અને પરવલય y^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) પરવલય $y^{2}=4x$ પરના સ્પર્શબિંદુને $A(t^{2}, 2t)$ ધારો.પરવલયના બિંદુ $A(t^{2}, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + t^{2}$ છે,જેને $x - ty + t^{2

Vedclass · Accepted Answer

$9$

Vedclass · Answer

(A) પરવલય $y^{2}=4x$ પરના સ્પર્શબિંદુને $A(t^{2}, 2t)$ ધારો.પરવલયના બિંદુ $A(t^{2}, 2t)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + t^{2}$ છે,જેને $x - ty + t^{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.આ રેખા વર્તુળ $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ નો પણ સ્પર્શક હોવાથી,જેનું કેન્દ્ર $(3, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=3$ છે,કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} ight| = 3$$\left| 3 + t^{2} ight| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$$t^{4} - 3t^{2} = 0$$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$બિંદુઓ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$t > 0$,તેથી $t^{2} = 3$,જે $t = \sqrt{3}$ આપે છે.આમ,પરવલય પરનું સ્પર્શબિંદુ $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ છે. તેથી,$a=3$ અને $b=2\sqrt{3}$.સ્પર્શકનું સમીકરણ $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ છે.વર્તુળ પરનું સ્પર્શબિંદુ $B(c, d)$ એ કેન્દ્ર $(3, 0)$ થી સ્પર્શક $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ પરના લંબપાદ છે.લંબપાદ $(c, d)$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$d = -\sqrt{3} 	imes (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$આપણે $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ શોધવાનું છે.

Similar Questions

જો રેખા $y = \sqrt{3}x + k$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ ને સ્પર્શતી હોય,તો $k =$

વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ અને પરવલય ${y^2} = 8ax$ ના બે સામાન્ય સ્પર્શકો કયા છે?

વર્તુળો $x^2+y^2+2x-2y-2=0$ અને $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ ને દોરેલા સામાન્ય સ્પર્શકોના ઢાળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળ પર દોરેલા બે સ્પર્શકો હંમેશા:

બિંદુ $(x', y')$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $yy' = 2a(x + x')$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module